Pertidaksamaan Rasional

Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan yang memuat pecahan yang penyebutnya memuat variabel. Untuk menyelesaikannya diperlukan persyaratan penyebut tidak sama dengan 0

Contoh 1: Tentukan semua nilai x yang memenuhi x2−1x−3≤0

Penyelesaian

Langkah Pertama: Menentukan syaratnya

Penyebut dari ruas kiri tidak boleh sama dengan 0
x−3≠0⇒x≠3
Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya

Karena ruas kanan sama dengan 0, langsung faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linier baik pembilang maupun penyebut
(x−1)(x+1)x−3≤0
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah x−1=0, x+1=0 dan x−3=0, tuliskan kedalam bentuk eksplisit dalam x diperoleh x=1, x=−1 dan x=3. Selanjutnya buat garis bilangan dan uji titik selain −1, 1 dan 3 di pertidaksamaan

Pada interval x≤−1, pilih x=−2 diperoleh nilai (−2−1)(−2+1)−2−3=3−5)≤0 (Memenuhi)

Pada interval −1≤x≤1, pilih x=0 diperoleh nilai (0−1)(0+1)0−3=13≤0 (Tidak Memenuhi)

Pada interval 1≤x≤3, pilih x=2 diperoleh nilai (2−1)(2+1)2−3=−3≤0 (Memenuhi)
Pada interval x≥3, pilih x=4 diperoleh nilai (4−1)(4+1)4−3=15≤0 (Tidak Memenuhi)

Dengan ilustrasi pada gambar dapat diketahui penyelesaiannya adalah x≤−1 atau 1≤x<0

Contoh 2: Tentukan semua nilai x yang memenuhi x2−3x+1x2+2x≤−2x+2

Penyelesaian

Langkah Pertama: Menentukan syaratnya

Pertidaksamaan di atas memiliki penyebut x2+2x dan x+2, oleh karenanya
⇒⇒x2+2x≠0x(x+2)≠0x≠0 dan x+2≠0
dengan kata lain x≠0 dan x≠−2

Jangan lupakan penyebut yang satunya lagi x+2≠0 atau x≠−2.

Dari dua penyebut di atas diperoleh syarat x≠0 dan x≠−2

Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya

Dimulai dengan membuat ruas kanan = 0
x2−3x+1x2+2x−−2x+2≤0
Kemudian sederhanakan pecahan di ruas kiri menjadi satu pecahan saja dengan cara mengurangkannya. Perhatikan penyebut pada pecahan pertama dapat difaktorkan menjadi x(x+2)
x2−3x+1x(x+2)−−2x+2≤0
Samakan penyebutnya dengan cara mengalikan penyebut dan pembilang pada pecahan kedua dengan x
x2−3x+1x(x+2)−−2xx(x+2)≤0
Operasikan pembilangnya
⇒x2−3x+1−(−2x)x(x+2)≤0x2−x+1x(x+2)≤0
Pecahan sudah sederhana, berikutnya faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linier jika mungkin.

Pembilang pada pertidaksamaan di atas relatif sulit untuk difaktorkan, oleh karena itu gunakan rumus ABC. Setelah dihitung diskrminannya diperoleh diskriminan negatif D=b2−4ac=1−4=−3. Jika Diskriminan suatu fungsi kuadrat negatif berarti fungsi kuadrat tersebut definit. untuk soal ini, fungsi x2+x+1 adalah definit positif atau nilainya selalu positif sehingga pada pertidaksamaan di atas kedua ruasnya sah untuk dikalikan dengan 1x2+x+1
⇒⇒x2+x+1x(x+2)≤0x2−x+1x(x+2)⋅1x2−x+1≤0⋅1x2−x+11x(x+2)≤0
x dan x+2 adalah pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas dengan kata lain x=0 dan x+2=0⇒x=−2.

Selanjutnya buat garis bilangan dan uji titik selain −2 dan 0 di pertidaksamaan

Pada interval x≤−2, pilih x=−3 diperoleh nilai 1x(x+2)=1−3(−3+2)=13≤0 (Tidak Memenuhi)

Pada interval −2≤x≤0, pilih x=−1 diperoleh nilai 1x(x+2)=1−1(−1+2)=1−1≤0 (Memenuhi)

Pada interval x≥0, pilih x=1 diperoleh nilai 1x(x+2)=11(1+2)=13≤0 (Tidak Memenuhi)

Ilustrasi seperti pada gambar di bawah, titik x=−2 dan x=1 diberi tanda bulatan putih karena sesuai syarat pertidaksamaan yaitu x≠0 dan x≠−2

Dari garis bilangan di atas diperoleh penyelesaian −2<x<0

Contoh 3: Tentukan semua nilai x yang memenuhi 2x−1−−−−−√≤x−2

Penyelesaian

Langkah Pertama: Menentukan syaratnya

Pada ruas kiri terdapat bentuk akar, oleh karena itu syaratnya adalah
x−1≥0⇒x≥1
Di ruas kiri terdapat bentuk akar yang diketahui selalu positif, karena ruas kanan lebih dari ruas kiri maka haruslah ruas kanan lebih dari atau sama dengan 0
x−2≥0⇒x≥2
Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya

Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan diperoleh
⇒⇒⇒⇒2x−1−−−−−√≤x−2(2x−1−−−−−√)2≤(x−2)24x−4≤x2−4x+40≤x2−8x+8x2−8x+8≥0
Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh pembuat 0 pada persamaan di atas adalah x=−4+22–√ dan x=−4−22–√. Dengan metode menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat diperoleh x≤−4−22–√ atau x≥−4+22–√

Sketsakan syarat-syarat dan penyelesaian di atas

Dari sketsa diperoleh penyelesaiannya adalah x≥2

Baca dari sumber